Quando studiamo la crescita esponenziale di un organismo (ad esempio i cianobatteri), se il tasso di crescita è del $6,25\%$, il numero dopo $x$ giorni può essere espresso con $y = (1+6,25\%)^x$. Ma cosa succede se $x$ non è un numero intero (ad esempio $1,5$ giorni)? Questa formula ha ancora senso? Per rispondere a questa domanda, dobbiamo estendere la definizione dell'esponente dai numeri interi ai numeri razionali e persino ai numeri reali, una necessità intrinseca all'espansione del sistema numerico.
Radici n-esime e potenze frazionarie
Definizione della radice n-esima: In generale, se $x^n=a$, allora $x$ si chiama radice n-esima di $a$, dove $n>1$ e $n \in \mathbf{N}^*$. L'espressione $\sqrt[n]{a}$ si chiama radicale.
Potenza frazionaria: Per unificare le proprietà dell'operazione, stabiliamo che la potenza frazionaria positiva di un numero positivo sia: $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$ (con $a>0$). Ciò significa che tutte le radici possono essere trasformate in forma di potenza per l'operazione.
Il radicale è l'espressione della potenza in dimensione frazionaria. Definendo le potenze frazionarie, eliminiamo la barriera tra radice e esponente, permettendo così una unificazione delle proprietà dell'operazione.
$$(\sqrt[n]{a})^n=a, \quad \sqrt{b}=b^{\frac{1}{2}} (b>0)$$